§1Quadro generale. Sia W₀ il capitale iniziale (normalizzato a 1; i risultati sono invarianti alla scala) e r il tasso di prelievo reale annuo. Per ogni r su una griglia si stima la probabilità di financial ruin — capitale esaurito prima del decesso dell'ultimo sopravvissuto del nucleo — tramite simulazione Monte Carlo che modella congiuntamente longevità e rendimenti. Il SWR per una tolleranza τ è il massimo r con probabilità di rovina ≤ τ. Nel caso "netto" ogni prelievo sconta le imposte italiane lungo l'intero orizzonte.

§2Dati di mercato

Fonte: JST Macrohistory Database, release R6 (Jordà, Knoll, Kuvshinov, Schularick, Taylor, "The Rate of Return on Everything", QJE 2019). Si usano 16 paesi sviluppati con dati completi (Australia, Belgio, Danimarca, Finlandia, Francia, Germania, Italia, Giappone, Paesi Bassi, Norvegia, Portogallo, Spagna, Svezia, Svizzera, Regno Unito, USA), periodo 1871–2020, per un totale di 2.212 osservazioni paese-anno (Canada e Irlanda esclusi per serie incomplete). Tutto in valuta e indice dei prezzi locali: ogni osservazione riflette l'esperienza dell'investitore domestico di quel paese.

Variabili JST utilizzate: eq_tr (rendimento totale azionario nominale), bond_tr (rendimento totale dell'obbligazione governativa decennale, nominale), cpi (indice dei prezzi al consumo). Da queste, per ciascun paese c e anno t:

Il motore fiscale gira sui nominali: il pannello memorizza per ogni riga paese-anno la terna { e = eq_tr, b = bond_tr, i = π }, indicizzata negli array E[], B[], INF[]. La prima osservazione di ogni paese (priva di π perché manca il CPI precedente) è scartata. Controllo di coerenza: rendimento reale geometrico azionario 4,6% sul campione vs 6,8% USA, con volatilità 22,0% vs 18,2% — è il divario survivor/easy-data che fa scendere il SWR rispetto al solo mercato USA.

§2-bisDiversificazione internazionale e valuta

Lo slider intl (0–100%) regola quanto l'azionario aderisce al portafoglio di mercato globale anziché al solo mercato domestico; le obbligazioni restano domestiche. Il rendimento dello sleeve azionario è (1−intl)·dom + intl·globale. A intl = 100% si detiene il portafoglio di mercato globale di tutti e 16 i paesi, ciascuno (incluso il domestico) al proprio peso di capitalizzazione: il domestico vi compare al suo peso naturale, senza cambio. A intl < 100% si aggiunge un sovrappeso domestico esplicito sopra il peso che il domestico ha già nel mercato globale: con 10% domestico (intl = 90%), l'esposizione domestica totale è 10% + 90%·w_dom. A intl = 0% si torna al 100% domestico (home bias totale). Il bootstrap individua un paese "casa" per ogni blocco (la casa ruota: non si assume che l'Italia replichi l'Italia); il paniere globale è pre-calcolato per ogni riga coerentemente col domestico, così correlazione e dipendenza temporale restano intatte. Nota: questa è una formulazione "portafoglio di mercato" e differisce da quella del paper di riferimento, che tiene domestico ed estero come due sleeve separati; qui il neutrale è il mercato globale e lo slider misura il sovrappeso casalingo.

Il cambio entra tramite il tasso incrociato casa/estero, xrusdcasa/xrusdestero (valuta locale per 1 USD; USA = 1). Per ogni paese estero f il rendimento in valuta di casa, non coperto, è Rf = (1+eqf)·(FXcasa/f,t/FXcasa/f,t−1) − 1. Il componente domestico del paniere globale entra invece senza alcuna conversione (FX = 1), col suo rendimento azionario interno. Non si modella la copertura valutaria perché il suo costo (≈ differenziale tassi) non è stimabile in modo affidabile.

Il paniere globale è una media ponderata dei rendimenti dei 16 paesi (il domestico col proprio rendimento interno, gli esteri con Rf), con pesi calcolati a inizio periodo (t−1, nessun look-ahead), selezionabili:

La capitalizzazione/PIL viene dalla World Bank (indicatore CM.MKT.LCAP.GD.ZS, dal 1975); prima del 1975 si usa il valore più antico disponibile, scelta giustificata dal fatto che fino agli anni '80 la capitalizzazione cresceva in linea col PIL (Kuvshinov-Zimmermann 2022), quindi cap-weight e PIL coincidono di fatto in quell'era. Il JST non contiene capitalizzazione di mercato; il PIL sì. Per stabilità durante le iperinflazioni i contributi sono calcolati in reale e winsorizzati a [−95%, +300%] (0,18% dei casi). Statistiche reali del paniere globale (la casa ruota su tutti i 16 paesi): equipeso geo 6,2%/vol 18,8%/corr col domestico 0,50; PIL 5,7%/19,5%/0,47; capitalizzazione 5,7%/19,6%/0,45 — l'equipeso è il più generoso (sovrappesa i mercati piccoli e in ripresa), PIL e capitalizzazione quasi coincidono e sono più vicini al paper. La correlazione col domestico è più alta che escludendolo, perché il domestico è ora dentro il paniere (più marcato per un paese a grande capitalizzazione come gli USA, lieve per uno piccolo). Il campione "solo USA" resta puramente domestico (benchmark, intl forzato a 0); la diversificazione si applica al campione sviluppato.

§3Mortalità (ISTAT)

Fonte: ISTAT, Tavole di mortalità della popolazione italiana, anno 2024, recuperate via web service SDMX (dataflow 26_295, indicatore PROBDEATH). PROBDEATH è la probabilità di morte annuale espressa per mille: qx = PROBDEATH / 1000, per età singola 0–119 e per sesso (SEX=1 maschi, SEX=2 femmine), con q₁₁₉ = 1 per chiusura. La durata di vita è simulata con estrazioni di Bernoulli anno per anno a partire dall'età iniziale impostata; per la coppia l'orizzonte è il last survivor. La speranza di vita residua mostrata in interfaccia usa la tavola di periodo:

Validazione: e₆₅ = 19,9 (M) e 22,7 (F), coincidenti con i valori pubblicati ISTAT 2024 (19,8 / 22,6). Codice:

function drawLife(qx,startAge){let age=startAge;while(age<MAXAGE){if(Math.random()<qx[age])return age-startAge;age++;}return MAXAGE-startAge;}
function drawHorizon(profile,ageM,ageW){if(profile==='couple'){const a=drawLife(QX_M,ageM),b=drawLife(QX_F,ageW);return a>b?a:b;}return drawLife(profile==='M'?QX_M:QX_F, profile==='M'?ageM:ageW);}
function exAt(qx,startAge){let l=1,ex=0;for(let a=startAge;a<=MAXAGE;a++){const q=qx[a];ex+=l*(1-q/2);l*=(1-q);}return ex;}

§4Block bootstrap stazionario

I percorsi di rendimento sono generati con il bootstrap stazionario di Politis & Romano (1994): si concatenano blocchi di osservazioni consecutive dello stesso paese. La lunghezza di ogni blocco è geometrica di parametro p = PINV = 0,1, quindi lunghezza media 1/p = 10 anni. Punto di partenza: paese estratto uniformemente tra i 16, anno iniziale uniforme nella sua serie. Se la serie del paese termina prima di completare il blocco, si prosegue da un nuovo paese estratto a caso. Si ottiene una sequenza di L indici (con L = durata di vita simulata) da cui si leggono E[id], B[id], INF[id] dello stesso anno-paese, preservando la struttura cross-asset (azioni/obbligazioni/inflazione coerenti, dalla stessa riga) e la dipendenza temporale entro blocco (volatilità persistente, mean-reversion).

function makePath(segs,n,out){let f=0;while(f<n){const idx=segs[(Math.random()*segs.length)|0];let pos=(Math.random()*idx.length)|0;while(f<n){out[f++]=idx[pos];pos++;if(pos>=idx.length)break;if(Math.random()<PINV)break;}}}

§5Dinamica di portafoglio e prelievo

Contabilità nominale. Stato iniziale (con ws = peso azioni, wb=1−ws, g₀ = plusvalenza latente iniziale): valori di mercato Veq=ws, Vbo=wb; costi di carico Ceq=ws(1−g₀), Cbo=wb(1−g₀); serbatoio minusvalenze loss=0; fattore inflazione cumulato cpi=1. Per ogni anno t=0…L−1:

Poiché wnom = r·cpi cresce con l'inflazione, l'importo reale in tasca resta costante (= r). Rovina se in un qualunque anno φ ≥ 1 (capitale insufficiente a coprire il fabbisogno).

§5-bisPensione pubblica

Si possono indicare, per uomo e donna, una pensione pubblica (importo annuo in € reali di oggi) e l'età di decorrenza. La pensione è espressa come quota del patrimonio iniziale, p = pensione€ / patrimonio€ (per questo il modello chiede il patrimonio; senza pensione il tasso non dipende dalla scala). Il bootstrap estrae gli anni di vita di ciascun coniuge separatamente, così la pensione di ognuno parte alla sua età di decorrenza e cessa al suo decesso (nessuna reversibilità modellata). Il fabbisogno coperto dal portafoglio in ogni anno diventa:

Essendo pt reale e moltiplicata per cpi, la pensione è automaticamente rivalutata con l'inflazione modellata fino alla decorrenza e poi mantiene il potere d'acquisto, come la perequazione. Quando la pensione copre l'intero fabbisogno il prelievo dal portafoglio si azzera (l'eventuale eccedenza non viene reinvestita: ipotesi prudenziale), ma il bollo continua a maturare. In presenza di pensione il SWR rappresenta la spesa reale totale (portafoglio + pensione) come % del patrimonio, e sale perché la pensione solleva il portafoglio dopo la decorrenza.

§6Formula delle imposte (gross-up)

Aliquote: te azioni (default 26%), tb obbligazioni governative (12,5%); imposta di bollo bollo = 0,2%/anno sul valore. La plusvalenza è nominale (carico non indicizzato) e calcolata sul costo medio. Cassa lorda richiesta prima dell'imposta sul capital gain:

Plusvalenza latente delle due componenti (per φ=1): GEf = Veq − Ceq, GBf = Vbo − Cbo (positivo = guadagno, negativo = perdita). Vendendo la frazione φ pro-quota, la plusvalenza realizzata è φ·GEf e φ·GBf. La cassa netta da una vendita φ è net(φ) = φV − imposta(φ); si risolve net(φ) = need. La soluzione è in forma chiusa.

Modalità ETF (redditi di capitale: nessuna compensazione delle minus). Con GEf⁺=max(0,GEf):

Modalità Titoli diretti (redditi diversi: minus compensano plus, con serbatoio loss a riporto). Plus per unità φ: pp = GEf⁺ + GBf⁺; minus correnti per unità φ: cl = (−GEf)⁺ + (−GBf)⁺; tentativo a imposta nulla φ₀ = need/V.

Aggiornamento del serbatoio dopo la vendita: usate = min(loss + φ·cl, plus_realizzate); loss ← (loss + φ·cl) − usate. Se φ ≥ 1 → rovina. Tutta la routine (lordo e netto, ETF e diretti) è questa funzione:

function ruin(buf,L,ws,rate,taxes,etf,te,tb,bollo,g0,guard,intl,IA,pens){
  const wb=1-ws;
  let Veq=ws,Vbo=wb,Ceq=ws*(1-g0),Cbo=wb*(1-g0),loss=0,cpi=1,Ireal=rate;
  for(let t=0;t<L;t++){
    const V=Veq+Vbo; if(V<=1e-12)return 1;
    if(guard&&t>=1&&t<L-15){const cur=(Ireal*cpi)/V; if(cur>1.2*rate)Ireal*=0.9; else if(cur<0.8*rate)Ireal*=1.1;}
    let wnom=Ireal*cpi; if(pens){wnom-=pens[t]*cpi; if(wnom<0)wnom=0;}
    let phi;
    if(!taxes){ if(wnom>=V)return 1; phi=wnom/V; }
    else{
      const need=wnom+bollo*V;
      const GEf=Veq-Ceq, GBf=Vbo-Cbo;
      const posEf=GEf>0?GEf:0, posBf=GBf>0?GBf:0;
      if(etf){ const den=V-(te*posEf+tb*posBf); if(den<=0)return 1; phi=need/den; }
      else{
        const clf=(GEf<0?-GEf:0)+(GBf<0?-GBf:0); const ppf=posEf+posBf;
        const phi0=need/V;
        if(ppf<=clf){ phi=phi0; }
        else{
          const phistar=(ppf-clf)>0?loss/(ppf-clf):1e18;
          if(phi0<=phistar){ phi=phi0; }
          else{ const reff=te*(posEf/ppf)+tb*(posBf/ppf); const den=V-reff*(ppf-clf); if(den<=0)return 1; phi=(need-reff*loss)/den; }
        }
      }
      if(phi>=1)return 1;
      if(!etf){ const gE=phi*GEf,gB=phi*GBf; const posE=gE>0?gE:0,posB=gB>0?gB:0; const curl=(gE<0?-gE:0)+(gB<0?-gB:0); const avail=loss+curl,pos=posE+posB; const use=pos>0?Math.min(avail,pos):0; loss=avail-use; }
    }
    if(phi>=1)return 1;
    Veq*=(1-phi);Vbo*=(1-phi);Ceq*=(1-phi);Cbo*=(1-phi);
    const id=buf[t]; const eqR=E[id]+intl*(IA[id]-E[id]); Veq*=(1+eqR); Vbo*=(1+B[id]); cpi*=(1+INF[id]);
  }
  return 0;
}

§6-bisStrategia alternativa: guardrail di Guyton-Klinger

In alternativa al prelievo reale costante, lo strumento implementa i guardrail di Guyton-Klinger (2006). Detto r il tasso iniziale, la spesa reale I parte da r e viene rivista a inizio di ogni anno in base al rapporto tra spesa corrente e valore del portafoglio:

Coerentemente con la regola originale di Guyton-Klinger, le regole si applicano per tutta la durata del piano e vengono sospese negli ultimi 15 anni dell'orizzonte (vicino al decesso non ha senso modulare la spesa): nel codice guard && t ≥ 1 && t < L−15, dove L è la durata di vita estratta in quella simulazione. Questa formulazione si adatta all'età: per un orizzonte lungo (es. partenza a 30 anni) i guardrail restano attivi per decenni, invece di congelarsi dopo i primi anni. Poiché valore e prelievo crescono entrambi con l'inflazione, il rapporto reale I/W coincide col nominale wnom/V (cur = (Ireal·cpi)/V). Il SWR riportato è il tasso iniziale: la spesa effettiva poi flette ±10% per scaglioni (più bassa nei periodi negativi, più alta in quelli positivi). Su orizzonti lunghi la regola di prosperity può far salire sensibilmente la spesa reale nel tempo, perché il portafoglio in media cresce: è un effetto voluto, visibile nel grafico dell'evoluzione. Validazione: rovina al 4% iniziale ≈ 11% (coppia 65/65, lordo) contro 19% del prelievo costante — riduzione materiale del rischio.

§7Stima del SWR ed evoluzione

Griglia dei tassi: r ∈ {0; 0,25%; … ; 8%} a passo fine, estesa fino al 20% a passo più rado (per i casi con pensione elevata, dove la spesa totale sostenibile come % del portafoglio può superare l'8%). Per ogni simulazione si estrae una durata di vita e un percorso, valutati con numeri casuali comuni a tutti i tassi e sia al lordo sia al netto: così il confronto lordo↔netto isola il solo effetto fiscale. La probabilità di rovina a un dato r è la frazione di simulazioni andate in rovina; il SWR è ottenuto per interpolazione lineare tra i due nodi che incrociano la tolleranza τ. Il grafico dell'evoluzione fa una seconda passata al tasso SWRnetto e registra, per anno, la media (sui vivi e solventi) del prelievo netto dal portafoglio = wnom/cpi, della pensione reale ricevuta, e dell'imposta reale = (φV − wnom)/cpi (plusvalenze + bollo). Le tre voci sono impilate: netto da portafoglio + pensione = spesa reale totale (piatta); le imposte stanno sopra. Il cuneo effettivo è imposta / risorse totali (prelievo lordo + pensione), non imposta/prelievo: così quando la pensione subentra e i prelievi dal portafoglio calano, il cuneo non presenta un falso gradino (il bollo è patrimoniale, resta sull'intero portafoglio, ma viene rapportato a tutte le risorse). Senza pensione le due definizioni coincidono. Restando il netto reale costante, il cuneo cresce comunque nel tempo perché la plusvalenza nominale realizzata si gonfia.

§8Ipotesi e limiti

• Nessun ribilanciamento: le due componenti driftano e i prelievi sono pro-quota, quindi non c'è imposta da ribilanciamento (semplificazione; un ribilanciamento annuale a target la aumenterebbe).
• Compensazione minus a riporto illimitato (norma reale: 4 anni) e senza il coefficiente di equalizzazione tra 26% e 12,5% → lievemente favorevole al contribuente.
• Dati annuali: nessuna erosione infra-annuale (un'iperinflazione è colta a grana annuale).
• 16 paesi vs 38 del paper. Azionario diversificabile a livello globale (portafoglio di mercato dei 16 paesi) con rischio di cambio non coperto; il campione "solo USA" resta domestico come benchmark.
• Plusvalenza latente iniziale applicata in egual misura alle due componenti.
• Capitale iniziale normalizzato; SWR invariante alla scala. Mortalità di periodo (non coorte/proiettata).

Fonti: Anarkulova, Cederburg, O'Doherty, Sias (2023) SSRN 4227132 · Jordà, Knoll, Kuvshinov, Schularick, Taylor (2019), QJE / macrohistory.net · ISTAT, Tavole di mortalità 2024 (SDMX dataflow 26_295) · Politis & Romano (1994) · regime fiscale italiano vigente.